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一、“换”,还是“不换”

记得一位中学数学老师跟我们讲过一个答题技巧,如果是三个选项的单选题,你连题都看不懂,这时,你先随便选一个,继续答题,题目全部答完后回头再看这道题,如果在其他题目的暗示下,发现B、C中一个选项是错的,那么,在排除B的同时,你还应该把答案从原来选的A,改成剩下的那个C。因为此时,“改成C”答对的概率高于“坚持选A”。

老师简单地解释了原因,但我没听懂,只是对结论印象深刻。

很多年后,我在一本讲概率的书上看到了这个说法的原型“三门问题”,一个经典的概率问题。

估计很多读者都知道了,所以简要地复述一下:

这是一个竞猜的电视节目,台上有三扇关着的门,其中两扇门后是羊,一扇门后是车,你可以选其中任何一扇,如果是车,就归你了。

于是,你随便选了一扇。

按规则,主持人知道哪扇门后面有车,打开了其中一扇背后是羊的门,并给你一个机会,你可换一扇门,也可以不换。

你的选择是“换”还是“不换”呢?

这个问题的答案,很多读者应该都知道了,直觉判断“换”与“不换”的概率都是一样的,但实际上,你应该换,换了后得到车的概率更高。

三门问题的标准解释是这样的:因为有两只羊,一台车,所以你一开始选中羊的概率是2/3,选中车的概率是1/3。主持人打开一扇门后,如果你换的话,你之前选的是羊,必然会变成车,之前选的是车,必然变成了羊,概率就完全互换了。变成“2/3的概率选中车,1/3的概率选中羊”。

如果文字还是不好理解,用图会清楚一些:

说到这儿,很多读者就算理解了,也不知道为什么会变成这样,它太违背直觉了。这也是概率的最大特点——它可以被计算,但是你很难感受。

二、你选两扇门,还是一扇门?

为了让大家感受这个换的过程,概率到底发生了什么变化,我对题目做了几次改变。

题目1:首先,我把题目稍稍改一改,你先选了一个门,主持人跟你说,他拿剩下的两个门跟你换,你换不换?

当然换!选两个门的概率是2/3,一个门的概率是1/3。

题目2:接下来,我第二次改题目,你先选了一个门,主持人打开了一扇有羊的门,跟你说,他拿这两个门跟你换,你换不换?

答案仍然是换,题目2=题目1,主持人打开那扇门,并不改变题目设定。

题目3:最后,关键的一步来了,你先选了一个门,主持人打开了一扇有羊的门,跟你说,他拿剩下的没开的门跟你换,你换不换?

答案仍然是换,题目3=题目2,换两扇门和换一扇门,实际上是一样的。

而改了三次的题目3,不就是原题吗?

这么一改,“三门问题”就开始接近我们的直觉与常识:

常识一:两张彩票的中奖概率是一张彩票的两倍

常识二,一个高考班,把没希望考上的差生去掉不给考,录取率就提高了

所以“三门问题”的结果之所以难以令人接受,是因为主持人打开一扇门的行为,把一部分“可能事件”变成了“既定事实”。

三、概率是如何被改变的?

概率不是一成不变的,比如说,某人说自己上班迟到的概率是10%,如果路上遇到堵车,迟到的概率反而会下降5%。

这听起来不符合直觉,但10%是“一个月内迟到的天数/上班的天数”,5%是“一个月内因为堵车而迟到的天数/上班堵车的天数”,很可能是因为,堵车是有规律的,这个人一旦预感要堵车,就会早一点出发。

判断概率需要你仔细审视条件的细微变化,特别是“叙述干扰”。

再来一个经典的例子:你在同事的桌上看到一个女孩子照片,你也知道你的同事有两个孩子,你也确认,这就是他的女儿。

那么请问:她另一个孩子是女儿的概率是多少?

答案当然是1/2。因为不是女孩,就是男孩。

但如果我问你,两个都是女儿的概率是多少,还是1/2吗?

答案应该是1/3。

解题过程是这样的:先不考虑你看到女孩照片的事实,有两个孩子,概率分布如下:

都是男孩的概率:1/4;

都是女孩的概率:1/4;

一个男孩一个女孩的概率:2/4。

但女孩照片的事实排除了“都是男孩”的可能,那么概率分布就变成:

都是女孩儿的概率:1/3(1/4÷3/4);

一个男孩一个女孩的概率:2/3(2/4÷3/4)。

你可能有一点疑惑,“另外一个是女孩”跟“两个都是女孩”,这不是一回事吗?为什么概率会不一样呢?

前者问的是两个人的概率,而后者问的是一个人的概率,这就是“叙述干扰”。“主持人”和“小女孩的照片”的出现,都改变了概率计算的条件。

三门问题的另一个难点是,要不要跟着主持人的行为,改变自己的选择,这个问题可以用大家熟悉的“田忌赛马”去类比。

如果两个人同时出马,对方的选择不会影响你的选择,你不管出上马,中马,下马,最终赢的概率都是一半对一半;但如果对方先出马,你后出马,就可以用跟随策略,对方出下马你出中马,对方出中马你出上马,对方出上马你出下马。

只不过,田忌赛马是一个100%确定的概率,三盘可以稳赢两盘。而三门问题只是将1/3的概率提升到2/3,因此不容易理解。

我猜,即使举了这么多例子,很多人还是无法接受这个结果,概率不光是数学计算,也是一种天生的直觉,想不通的人,最好的方法是找三张牌当门,找一个人当主持人,两人每局押10元,得到车,拿20元,得到羊,亏10元。多玩几局,你就明白,“不换”必然惨败。

花了那么多篇幅,生活中又没有羊与车的游戏,“三门问题”的意义何在呢?

四、先选后换,当换则换

回到开头的数学老师的方法,很明显是从三门问题中演变出来的。只是,“三门问题”有严格的约束条件,主持人明确知道哪一扇门有车,并且要帮你排除掉一扇门,才能导致“换”胜出的概率比“不换”高了一倍。

而在做选择题时,你并不确定B一定是错的,因此不可能把“换”的概率提高一倍,但只要B错的可能性更高,“换”到正确答案的概率就一定能提高,B错误的可能性越高,“换”这个策略,正确的概率也就越高。

这就是三门问题在生活中的应用,虽然生活中遇到的情景,约束条件不那么严格,“换”胜出的概率比“不换”可能也就是高了10%,但很多选择都是可重复的,高10%的概率,对生活的改变最终差别可能是10倍以上,而某些关键的选择,就是0和1的区别了。

如何用“三门问题”的思路帮助你重新选择职业?

假如世界上有一种职业最适合你,但你并不知道是哪一个,在工作之初,你只能大概选一个,有了更多工作经验,能够排除明显不适合自己的选项后,你再更换自己的职业——尽管你仍然不知道它是否适合你,这仍然能提高你获得满意职业的概率。

这就是“换职业”的策略必须具备两个条件:

条件1:一开始你对各个选项并不了解,所以概率都差不多

条件2:你有了经验后,能够排除很多完全不适合你的工作

还有一些条件如果具备的话,“换”的结果更好,比如:你对现在的状态很不满意,你觉得并没有遇到自己满意的工作。

跟“三门问题”有一点不同,这里的“主持人”变成了你自己——其实是有经验后的自己。

这样,三门思维就可以总结成一个“先选后换”的策略:

1、一件事有多个难以判断的选项,还有重来一次的机会;

2、挑一个方法先执行起来;

3、在做的时候,随着你对事情有了更深的认知时,可以去掉一些明显不靠谱的选项;

4、再在剩下相对比较靠谱的方法中,选择一个,更换方法——除非你觉得现在用的方法特别好,不需要换了。

比如恋爱策略,初恋感受很好,但从概率上说,靠谱程度常常不如有了经验之后再换的那一个。

当然,这个方法还要考虑更换成本的问题,如果你事先知道大概率要换方法,那么前期的投入成本就要控制。

所以,换的时机选择也很重要,太早,无法排除足够的选项,太晚,换的成本又太高了。

“先选再换”的策略还可以进一步简化为一种思路,我称之为“疑错从有”。

五、疑错从有,当改则改

所谓“疑错从有”,当事件做了一部分,你发现之前有可能做错了,现有条件也无法判断是否有错,那么,“改”大概率比“不改”好。

虽然没有主持人帮你去掉一个错误选项,但隐含的意思是,随着你对事物认识的深刻,你已经在自动屏蔽一些错误的答案——这才是你觉得自己之前有可能是错的真正原因。

这个策略在投资股票中常常遇到,你在几支自选股中选择一支买入一段时间后,随着对公司认识的加深,你忽然发现自己的决策有可能是错的,这个时候你是会选择换股?还是坚持不换股呢?

我之前一直认为“换”还是“不换”,无法判断,除非我能证明自己确实错了,但在看了“三门问题”之后,我忽然意识到,“换股”也许是一个更好的策略。

于是我自己做过一个回测,对过往决策中曾经有过类似怀疑的股票,做一个换与不换的对比测试,结果也证实,换比不换好。

虽然只是好一点点,但一个职业投资者跟普通投资者可能就是胜率51%和50%的区别。一个顶级基金经理,他的胜率可能也就是55%。所以,胜率上任何稳定提升的方法,哪怕只有0.5个点,都是至关重要的。

这算是我从一个业余投资者到一个职业投资者的转变之一,那就是“疑错从有”,当你发现自己有可能错了之后,就要把它当成错的去改。

遗憾的是,大部分人的习惯都是“不换”,这里有一个“后悔效应”在作祟。

六、后悔效应

在“三门问题”中,很多人本能地觉得换不换的概率都一样,然后就选择了“不换”,问题在于,既然都一样,为啥你不选择“换”呢?

这是因为,如果“不换”,结果没抽中车,你不会后悔,只会觉得自己运气不好;但如果“换”,结果换丢了车,你一定万分后悔,真是“闲得蛋疼多此一举没事找抽天生命贱”。

因为主动改变而犯下大错,这类事产生的“后悔”情绪,会对我们日后产生深刻的影响,导致大多数人在权衡利弊时,都会不自觉的考虑自己是否会后悔,这被心理学家总结为“后悔效应”。

为了避免后悔,人们不愿改变,明知有问题,而宁愿非理性地延续目前的状态,包括:不敢离婚、不敢辞职,不敢改变环境、不愿改变工作方法、更倾向于目前正在进行的治疗手段……

其实,人生很多重大的选择都会至少给你“重来一次”的机会,但在考虑到“是否会后悔”后,你却总是在犹豫中选择维持现状。

七、总结

最后,总结一下“三门问题”的思维模型

1、“三门问题”背后的两个常识:

常识一:两张彩票的中奖概率是一张彩票的两倍

常识二:一个高考班,把没希望考上的差生去掉,录取率就提高了

2、“先选后换”的策略:

首先、一件事有多个难以判断的选项,还有重来一次的机会;

其次、挑一个方法先执行起来;

再次、在做的时候,随着你对事情有了更深的认知时,可以去掉一些明显不靠谱的选项;

最后、再在剩下相对比较靠谱的方法中,选择一个,更换方法——除非你觉得现在用的方法特别好,不需要换了。

3、“疑错从有”原则:

当事件做了一部分,你发现之前有可能做错了,现有条件也无法判断是否有错,那么,“改”大概率比“不改”好。

4、不换的另一个原因:后悔效应

因为主动改变而犯下大错,这类事产生的“后悔”情绪,会对我们日后产生深刻的影响,导致大多数人在权衡利弊时,都会不自觉地考虑自己日后是否会后悔,这让我们一次又一次错过了改正的机会。

最后总结成一句话:觉得要改变的时候,就是“改变”的最佳时刻。